פתור את {l}{7x+8y=-5}{4x+3y=-36}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = - 5 } \\ { 4 x + 3 y = - 36 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{273}{11} = -24\frac{9}{11} \approx -24.818181818$$

$$y = \frac{232}{11} = 21\frac{1}{11} \approx 21.090909091$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+8y=-5,4x+3y=-36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+8y=-5$$

החסר ‎8y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-8y-5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y-5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-8y-5.

$$x=-\frac{8}{7}y-\frac{5}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-8y-5}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+3y=-36.

$$4\left(-\frac{8}{7}y-\frac{5}{7}\right)+3y=-36$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-8y-5}{7}.

$$-\frac{32}{7}y-\frac{20}{7}+3y=-36$$

הוסף את ‎-\frac{32y}{7} ל- ‎3y.

$$-\frac{11}{7}y-\frac{20}{7}=-36$$

הוסף ‎\frac{20}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{11}{7}y=-\frac{232}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{11}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{232}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{232}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{8}{7}y-\frac{5}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{8}{7}\times \frac{232}{11}-\frac{5}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{8}{7} ב- ‎\frac{232}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1856}{77}-\frac{5}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{5}{7} ל- ‎-\frac{1856}{77} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{273}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{273}{11},y=\frac{232}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+8y=-5,4x+3y=-36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-8\times 4}&-\frac{8}{7\times 3-8\times 4}\\-\frac{4}{7\times 3-8\times 4}&\frac{7}{7\times 3-8\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}&\frac{8}{11}\\\frac{4}{11}&-\frac{7}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{11}\left(-5\right)+\frac{8}{11}\left(-36\right)\\\frac{4}{11}\left(-5\right)-\frac{7}{11}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{273}{11}\\\frac{232}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{273}{11},y=\frac{232}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+8y=-5,4x+3y=-36$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$4\times 7x+4\times 8y=4\left(-5\right),7\times 4x+7\times 3y=7\left(-36\right)$$

פשט.

$$28x+32y=-20,28x+21y=-252$$

החסר את ‎28x+21y=-252 מ- ‎28x+32y=-20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x+32y-21y=-20+252$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$32y-21y=-20+252$$

הוסף את ‎32y ל- ‎-21y.

$$11y=-20+252$$

הוסף את ‎-20 ל- ‎252.

$$11y=232$$

חלק את שני האגפים ב- ‎11.

$$y=\frac{232}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{232}{11} במקום y ב- ‎4x+3y=-36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+3\times \frac{232}{11}=-36$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{232}{11}.

$$4x+\frac{696}{11}=-36$$

החסר ‎\frac{696}{11} משני אגפי המשוואה.

$$4x=-\frac{1092}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=-\frac{273}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{273}{11},y=\frac{232}{11}$$