פתור את {l}{7x+6y=18}{x=4-y/2}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{y}{2} משני הצדדים.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x+y=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+6y=18$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-6y+18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-6y+18.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-6y+18}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=8.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-6y+18}{7}.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{7} ל- ‎y.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

החסר ‎\frac{36}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{5}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{6}{7} ב- ‎-4.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

הוסף את ‎\frac{18}{7} ל- ‎\frac{24}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{y}{2} משני הצדדים.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x+y=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-4$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{y}{2} משני הצדדים.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎2.

$$2x+y=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

פשט.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

החסר את ‎14x+7y=56 מ- ‎14x+12y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

הוסף את ‎14x ל- ‎-14x. האיברים ‎14x ו- ‎-14x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-7y=36-56$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-7y.

$$5y=36-56$$

הוסף את ‎36 ל- ‎-56.

$$5y=-20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$y=-4$$

השתמש ב- ‎-4 במקום y ב- ‎2x+y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-4=8$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-4$$