פתור את {l}{7x+5y=12}{8x-2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+5y=12$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-5y+12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-5y+12.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y+12}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-5y+12}{7}.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

הוסף את ‎-\frac{40y}{7} ל- ‎-2y.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

החסר ‎\frac{96}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{54}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{47}{54}$$

השתמש ב- ‎\frac{47}{54} במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{7} ב- ‎\frac{47}{54} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

הוסף את ‎\frac{12}{7} ל- ‎-\frac{235}{378} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{59}{54}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

פשט.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

החסר את ‎56x-14y=49 מ- ‎56x+40y=96 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

הוסף את ‎56x ל- ‎-56x. האיברים ‎56x ו- ‎-56x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$40y+14y=96-49$$

הוסף את ‎40y ל- ‎14y.

$$54y=96-49$$

הוסף את ‎96 ל- ‎-49.

$$54y=47$$

חלק את שני האגפים ב- ‎54.

$$y=\frac{47}{54}$$

השתמש ב- ‎\frac{47}{54} במקום y ב- ‎8x-2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{47}{54}.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

הוסף ‎\frac{47}{27} לשני אגפי המשוואה.

$$8x=\frac{236}{27}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{59}{54}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$