פתור את {l}{7x+5y=-16}{5x-2y=-17}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 16 } \\ { 5 x - 2 y = - 17 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=1$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+5y=-16$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-5y-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-16\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-5y-16.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-5y-16}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎5x-2y=-17.

$$5\left(-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}\right)-2y=-17$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-5y-16}{7}.

$$-\frac{25}{7}y-\frac{80}{7}-2y=-17$$

הוסף את ‎-\frac{25y}{7} ל- ‎-2y.

$$-\frac{39}{7}y-\frac{80}{7}=-17$$

הוסף ‎\frac{80}{7} לשני אגפי המשוואה.

$$-\frac{39}{7}y=-\frac{39}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{39}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{7}y-\frac{16}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{-5-16}{7}$$

הוסף את ‎-\frac{16}{7} ל- ‎-\frac{5}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 5}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\\frac{5}{39}&-\frac{7}{39}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\-17\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{39}\left(-16\right)+\frac{5}{39}\left(-17\right)\\\frac{5}{39}\left(-16\right)-\frac{7}{39}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+5y=-16,5x-2y=-17$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎5x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$5\times 7x+5\times 5y=5\left(-16\right),7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\left(-17\right)$$

פשט.

$$35x+25y=-80,35x-14y=-119$$

החסר את ‎35x-14y=-119 מ- ‎35x+25y=-80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35x-35x+25y+14y=-80+119$$

הוסף את ‎35x ל- ‎-35x. האיברים ‎35x ו- ‎-35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$25y+14y=-80+119$$

הוסף את ‎25y ל- ‎14y.

$$39y=-80+119$$

הוסף את ‎-80 ל- ‎119.

$$39y=39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎39.

$$y=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום y ב- ‎5x-2y=-17. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$5x-2=-17$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$5x=-15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=1$$