פתור את {l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7x+4y=52$$

החסר ‎4y משני אגפי המשוואה.

$$7x=-4y+52$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-4y+52.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-4y+52}{7} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-4y+52}{7}.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{7} ל- ‎-4y.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

החסר ‎\frac{208}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{44}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

הכפל את ‎-\frac{4}{7} ב- ‎6.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

הוסף את ‎\frac{52}{7} ל- ‎-\frac{24}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

כדי להפוך את ‎7x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

פשט.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

החסר את ‎28x-28y=-56 מ- ‎28x+16y=208 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

הוסף את ‎28x ל- ‎-28x. האיברים ‎28x ו- ‎-28x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$16y+28y=208+56$$

הוסף את ‎16y ל- ‎28y.

$$44y=208+56$$

הוסף את ‎208 ל- ‎56.

$$44y=264$$

חלק את שני האגפים ב- ‎44.

$$y=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום y ב- ‎4x-4y=-8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-4\times 6=-8$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$4x-24=-8$$

הוסף ‎24 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=6$$