פתור את {l}{7w+2z=16}{5w=2z+8}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור w, z

$$z=1$$

$$w=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2z משני האגפים.

$$5w-2z=8$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור w על-ידי בידוד w בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$7w+2z=16$$

החסר ‎2z משני אגפי המשוואה.

$$7w=-2z+16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{7} ב- ‎-2z+16.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2z+16}{7} במקום ‎w במשוואה השניה, ‎5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{-2z+16}{7}.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

הוסף את ‎-\frac{10z}{7} ל- ‎-2z.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

החסר ‎\frac{80}{7} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{24}{7}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$z=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום z ב- ‎w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את w ישירות.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

הוסף את ‎\frac{16}{7} ל- ‎-\frac{2}{7} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$w=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$w=2,z=1$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2z משני האגפים.

$$5w-2z=8$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה w ו- z.

$$w=2,z=1$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2z משני האגפים.

$$5w-2z=8$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

כדי להפוך את ‎7w ו- ‎5w לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎5 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎7.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

פשט.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

החסר את ‎35w-14z=56 מ- ‎35w+10z=80 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

הוסף את ‎35w ל- ‎-35w. האיברים ‎35w ו- ‎-35w מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10z+14z=80-56$$

הוסף את ‎10z ל- ‎14z.

$$24z=80-56$$

הוסף את ‎80 ל- ‎-56.

$$24z=24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎24.

$$z=1$$

השתמש ב- ‎1 במקום z ב- ‎5w-2z=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את w ישירות.

$$5w-2=8$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$5w=10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$w=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$w=2,z=1$$