פתור את {l}{62x+y=44}{34x-y=36}

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$62x+y=44$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$62x=-y+44$$

חלק את שני האגפים ב- ‎62.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{62} ב- ‎-y+44.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{62}+\frac{22}{31} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

הכפל את ‎34 ב- ‎-\frac{y}{62}+\frac{22}{31}.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

הוסף את ‎-\frac{17y}{31} ל- ‎-y.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

החסר ‎\frac{748}{31} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{48}{31}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{23}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{23}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{62} ב- ‎-\frac{23}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

הוסף את ‎\frac{22}{31} ל- ‎\frac{23}{186} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

כדי להפוך את ‎62x ו- ‎34x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎34 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎62.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

פשט.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

החסר את ‎2108x-62y=2232 מ- ‎2108x+34y=1496 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

הוסף את ‎2108x ל- ‎-2108x. האיברים ‎2108x ו- ‎-2108x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$34y+62y=1496-2232$$

הוסף את ‎34y ל- ‎62y.

$$96y=1496-2232$$

הוסף את ‎1496 ל- ‎-2232.

$$96y=-736$$

חלק את שני האגפים ב- ‎96.

$$y=-\frac{23}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{23}{3} במקום y ב- ‎34x-y=36. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

החסר ‎\frac{23}{3} משני אגפי המשוואה.

$$34x=\frac{85}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎34.

$$x=\frac{5}{6}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$