פתור את {l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6.5x+y=9$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$6.5x=-y+9$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎6.5, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{2}{13} ב- ‎-y+9.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+18}{13} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

הכפל את ‎1.6 ב- ‎\frac{-2y+18}{13}.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

הוסף את ‎-\frac{16y}{65} ל- ‎\frac{y}{5}.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

החסר ‎\frac{144}{65} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{3}{65}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{701}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{701}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{13} ב- ‎-\frac{701}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

הוסף את ‎\frac{18}{13} ל- ‎\frac{1402}{39} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{112}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

כדי להפוך את ‎\frac{13x}{2} ו- ‎\frac{8x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1.6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.5.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

פשט.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

החסר את ‎10.4x+1.3y=84.5 מ- ‎10.4x+1.6y=14.4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

הוסף את ‎\frac{52x}{5} ל- ‎-\frac{52x}{5}. האיברים ‎\frac{52x}{5} ו- ‎-\frac{52x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

הוסף את ‎\frac{8y}{5} ל- ‎-\frac{13y}{10}.

$$0.3y=14.4-84.5$$

הוסף את ‎14.4 ל- ‎-84.5 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$0.3y=-70.1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎0.3, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{701}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{701}{3} במקום y ב- ‎1.6x+0.2y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

הכפל את ‎0.2 ב- ‎-\frac{701}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

הוסף ‎\frac{701}{15} לשני אגפי המשוואה.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎1.6, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{112}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$