פתור את {l}{6y+4x=27}{x+y=50}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

פתור עבור y, x

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור y על-ידי בידוד y בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6y+4x=27$$

החסר ‎4x משני אגפי המשוואה.

$$6y=-4x+27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-4x+27.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} במקום ‎y במשוואה השניה, ‎y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

הוסף את ‎-\frac{2x}{3} ל- ‎x.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

החסר ‎\frac{9}{2} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

הכפל את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{273}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{273}{2} במקום x ב- ‎y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{3} ב- ‎\frac{273}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎-91.

$$y=-\frac{173}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה y ו- x.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

כדי להפוך את ‎6y ו- ‎y לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

פשט.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

החסר את ‎6y+6x=300 מ- ‎6y+4x=27 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-6y. האיברים ‎6y ו- ‎-6y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4x-6x=27-300$$

הוסף את ‎4x ל- ‎-6x.

$$-2x=27-300$$

הוסף את ‎27 ל- ‎-300.

$$-2x=-273$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=\frac{273}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{273}{2} במקום x ב- ‎y+x=50. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

החסר ‎\frac{273}{2} משני אגפי המשוואה.

$$y=-\frac{173}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$