פתור את {l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - \frac { 1 } { 3 } y = 27 } \\ { \frac { 4 } { 5 } x + \frac { 1 } { 4 } y = \frac { 25 } { 4 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=5$$

$$y=9$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

הוסף ‎\frac{y}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎\frac{y}{3}+27.

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{y}{18}+\frac{9}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}.

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎\frac{y}{18}+\frac{9}{2}.

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

הוסף את ‎\frac{2y}{45} ל- ‎\frac{y}{4}.

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

החסר ‎\frac{18}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{53}{180}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎\frac{1}{18} ב- ‎9.

$$x=\frac{1+9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎\frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=5,y=9$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎\frac{4x}{5} לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎\frac{4}{5} ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

פשט.

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

החסר את ‎\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2} מ- ‎\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5} על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

הוסף את ‎\frac{24x}{5} ל- ‎-\frac{24x}{5}. האיברים ‎\frac{24x}{5} ו- ‎-\frac{24x}{5} מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{15} ל- ‎-\frac{3y}{2}.

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

הוסף את ‎\frac{108}{5} ל- ‎-\frac{75}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{53}{30}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=9$$

השתמש ב- ‎9 במקום y ב- ‎\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

הכפל את ‎\frac{1}{4} ב- ‎9.

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

החסר ‎\frac{9}{4} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{4}{5}x=4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{4}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=5$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=5,y=9$$