פתור את {l}{6x^2+7x}{-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x ^ { 2 } + 7 x } \\ { - 5 } \end{array} \right.$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 6x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 7.

$$a=-3 b=10$$

שכתב את ‎6x^{2}+7x-5 כ- ‎\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3x בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

‎7 בריבוע.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-7 ל- ‎13.

$$x=\frac{6}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{6}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-7±13}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎-7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-20}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{3} במקום x_{2}.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

החסר את x מ- \frac{1}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{3} ל- ‎x על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+5}{3}$$

הכפל את ‎\frac{2x-1}{2} ב- ‎\frac{3x+5}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{2\times 3}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎3.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{6}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎6 ו- ‎6.

$$6x^{2}+7x-5=\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

הערך

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$