פתור את {l}{6x+y=-28}{-6x-8y=-49}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + y = - 28 } \\ { - 6 x - 8 y = - 49 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6.5$$

$$y=11$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+y=-28,-6x-8y=-49$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+y=-28$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-y-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-y-28\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-y-28.

$$x=-\frac{1}{6}y-\frac{14}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{6}-\frac{14}{3} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x-8y=-49.

$$-6\left(-\frac{1}{6}y-\frac{14}{3}\right)-8y=-49$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎-\frac{y}{6}-\frac{14}{3}.

$$y+28-8y=-49$$

הוסף את ‎y ל- ‎-8y.

$$-7y+28=-49$$

החסר ‎28 משני אגפי המשוואה.

$$-7y=-77$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{6}y-\frac{14}{3}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{6}\times 11-\frac{14}{3}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{6} ב- ‎11.

$$x=-\frac{11}{6}-\frac{14}{3}$$

הוסף את ‎-\frac{14}{3} ל- ‎-\frac{11}{6} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{13}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{2},y=11$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+y=-28,-6x-8y=-49$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&1\\-6&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}&-\frac{1}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}&\frac{6}{6\left(-8\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}&\frac{1}{42}\\-\frac{1}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-28\\-49\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{21}\left(-28\right)+\frac{1}{42}\left(-49\right)\\-\frac{1}{7}\left(-28\right)-\frac{1}{7}\left(-49\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{2}\\11\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{13}{2},y=11$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+y=-28,-6x-8y=-49$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$-6\times 6x-6y=-6\left(-28\right),6\left(-6\right)x+6\left(-8\right)y=6\left(-49\right)$$

פשט.

$$-36x-6y=168,-36x-48y=-294$$

החסר את ‎-36x-48y=-294 מ- ‎-36x-6y=168 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-36x+36x-6y+48y=168+294$$

הוסף את ‎-36x ל- ‎36x. האיברים ‎-36x ו- ‎36x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y+48y=168+294$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎48y.

$$42y=168+294$$

הוסף את ‎168 ל- ‎294.

$$42y=462$$

חלק את שני האגפים ב- ‎42.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎-6x-8y=-49. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x-8\times 11=-49$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎11.

$$-6x-88=-49$$

הוסף ‎88 לשני אגפי המשוואה.

$$-6x=39$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-\frac{13}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{2},y=11$$