פתור את {l}{6x+5y=27}{2x+y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+5y=27$$

החסר ‎5y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-5y+27$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-5y+27.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{5y}{6}+\frac{9}{2}.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

הוסף את ‎-\frac{5y}{3} ל- ‎y.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

החסר ‎9 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

הכפל את ‎-\frac{5}{6} ב- ‎-6.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

הוסף את ‎\frac{9}{2} ל- ‎5.

$$x=\frac{19}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

פשט.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

החסר את ‎12x+6y=78 מ- ‎12x+10y=54 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

הוסף את ‎12x ל- ‎-12x. האיברים ‎12x ו- ‎-12x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$10y-6y=54-78$$

הוסף את ‎10y ל- ‎-6y.

$$4y=54-78$$

הוסף את ‎54 ל- ‎-78.

$$4y=-24$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎2x+y=13. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-6=13$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$2x=19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{19}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$