פתור את {l}{6x+3y=25.95}{4x+6y=26.70}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 25.95 } \\ { 4 x + 6 y = 26.70 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3.15$$

$$y=2.35$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+3y=25.95$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-3y+25.95$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+25.95\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-3y+25.95.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{2}+\frac{173}{40} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x+6y=26.7.

$$4\left(-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}\right)+6y=26.7$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-\frac{y}{2}+\frac{173}{40}.

$$-2y+\frac{173}{10}+6y=26.7$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎6y.

$$4y+\frac{173}{10}=26.7$$

החסר ‎\frac{173}{10} משני אגפי המשוואה.

$$4y=\frac{47}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$y=\frac{47}{20}$$

השתמש ב- ‎\frac{47}{20} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{2}y+\frac{173}{40}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{47}{20}+\frac{173}{40}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{2} ב- ‎\frac{47}{20} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-47+173}{40}$$

הוסף את ‎\frac{173}{40} ל- ‎-\frac{47}{40} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{63}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\4&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 4}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 4}\\-\frac{4}{6\times 6-3\times 4}&\frac{6}{6\times 6-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.95\\26.7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 25.95-\frac{1}{8}\times 26.7\\-\frac{1}{6}\times 25.95+\frac{1}{4}\times 26.7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{63}{20}\\\frac{47}{20}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+3y=25.95,4x+6y=26.7$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$4\times 6x+4\times 3y=4\times 25.95,6\times 4x+6\times 6y=6\times 26.7$$

פשט.

$$24x+12y=103.8,24x+36y=160.2$$

החסר את ‎24x+36y=160.2 מ- ‎24x+12y=103.8 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24x-24x+12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

הוסף את ‎24x ל- ‎-24x. האיברים ‎24x ו- ‎-24x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y-36y=\frac{519-801}{5}$$

הוסף את ‎12y ל- ‎-36y.

$$-24y=\frac{519-801}{5}$$

הוסף את ‎103.8 ל- ‎-160.2 על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-24y=-56.4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=\frac{47}{20}$$

השתמש ב- ‎\frac{47}{20} במקום y ב- ‎4x+6y=26.7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x+6\times \frac{47}{20}=26.7$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{47}{20}.

$$4x+\frac{141}{10}=26.7$$

החסר ‎\frac{141}{10} משני אגפי המשוואה.

$$4x=\frac{63}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=\frac{63}{20}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{63}{20},y=\frac{47}{20}$$