פתור את {l}{6x+2y=-6}{3x-y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 2 y = - 6 } \\ { 3 x - y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6x+2y=-6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$6x=-2y-6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y-6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎-2y-6.

$$x=-\frac{1}{3}y-1$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{3}-1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x-y=9.

$$3\left(-\frac{1}{3}y-1\right)-y=9$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{y}{3}-1.

$$-y-3-y=9$$

הוסף את ‎-y ל- ‎-y.

$$-2y-3=9$$

הוסף ‎3 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{3}y-1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-6\right)-1$$

הכפל את ‎-\frac{1}{3} ב- ‎-6.

$$x=2-1$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎2.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6\left(-1\right)-2\times 3}&-\frac{2}{6\left(-1\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{6\left(-1\right)-2\times 3}&\frac{6}{6\left(-1\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{6}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\left(-6\right)+\frac{1}{6}\times 9\\\frac{1}{4}\left(-6\right)-\frac{1}{2}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-6\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=-6$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6x+2y=-6,3x-y=9$$

כדי להפוך את ‎6x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$3\times 6x+3\times 2y=3\left(-6\right),6\times 3x+6\left(-1\right)y=6\times 9$$

פשט.

$$18x+6y=-18,18x-6y=54$$

החסר את ‎18x-6y=54 מ- ‎18x+6y=-18 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$18x-18x+6y+6y=-18-54$$

הוסף את ‎18x ל- ‎-18x. האיברים ‎18x ו- ‎-18x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+6y=-18-54$$

הוסף את ‎6y ל- ‎6y.

$$12y=-18-54$$

הוסף את ‎-18 ל- ‎-54.

$$12y=-72$$

חלק את שני האגפים ב- ‎12.

$$y=-6$$

השתמש ב- ‎-6 במקום y ב- ‎3x-y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x-\left(-6\right)=9$$

החסר ‎6 משני אגפי המשוואה.

$$3x=3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=-6$$