פתור את {l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

פתור עבור m, n

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור m על-ידי בידוד m בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$6m-5n=-9$$

הוסף ‎5n לשני אגפי המשוואה.

$$6m=5n-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{6} ב- ‎5n-9.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5n}{6}-\frac{3}{2} במקום ‎m במשוואה השניה, ‎4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{5n}{6}-\frac{3}{2}.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

הוסף את ‎\frac{10n}{3} ל- ‎3n.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{19}{3}n=71$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{19}{3}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$n=\frac{213}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{213}{19} במקום n ב- ‎m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

הכפל את ‎\frac{5}{6} ב- ‎\frac{213}{19} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{2} ל- ‎\frac{355}{38} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$m=\frac{149}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה m ו- n.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

כדי להפוך את ‎6m ו- ‎4m לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎6.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

פשט.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

החסר את ‎24m+18n=390 מ- ‎24m-20n=-36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

הוסף את ‎24m ל- ‎-24m. האיברים ‎24m ו- ‎-24m מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20n-18n=-36-390$$

הוסף את ‎-20n ל- ‎-18n.

$$-38n=-36-390$$

הוסף את ‎-36 ל- ‎-390.

$$-38n=-426$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-38.

$$n=\frac{213}{19}$$

השתמש ב- ‎\frac{213}{19} במקום n ב- ‎4m+3n=65. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את m ישירות.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{213}{19}.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

החסר ‎\frac{639}{19} משני אגפי המשוואה.

$$4m=\frac{596}{19}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$m=\frac{149}{19}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$