פתור את {l}{50x+3y=1}{2x-4y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$50x+3y=1$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$50x=-3y+1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎50.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{50} ב- ‎-3y+1.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+1}{50} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-3y+1}{50}.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{25} ל- ‎-4y.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

החסר ‎\frac{1}{25} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{103}{25}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{124}{103}$$

השתמש ב- ‎-\frac{124}{103} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{50} ב- ‎-\frac{124}{103} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

הוסף את ‎\frac{1}{50} ל- ‎\frac{186}{2575} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{19}{206}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

כדי להפוך את ‎50x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎50.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

פשט.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

החסר את ‎100x-200y=250 מ- ‎100x+6y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

הוסף את ‎100x ל- ‎-100x. האיברים ‎100x ו- ‎-100x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y+200y=2-250$$

הוסף את ‎6y ל- ‎200y.

$$206y=2-250$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-250.

$$206y=-248$$

חלק את שני האגפים ב- ‎206.

$$y=-\frac{124}{103}$$

השתמש ב- ‎-\frac{124}{103} במקום y ב- ‎2x-4y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-\frac{124}{103}.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

החסר ‎\frac{496}{103} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{19}{103}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{19}{206}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$