פתור את {l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-7y=4$$

הוסף ‎7y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=7y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎7y+4.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{7y+4}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{7y+4}{5}.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

הוסף את ‎-\frac{7y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

הוסף ‎\frac{4}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{11}{3} במקום y ב- ‎x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

הכפל את ‎\frac{7}{5} ב- ‎-\frac{11}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎-\frac{77}{15} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{13}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

פשט.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

החסר את ‎-5x+10y=-15 מ- ‎-5x+7y=-4 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

הוסף את ‎-5x ל- ‎5x. האיברים ‎-5x ו- ‎5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$7y-10y=-4+15$$

הוסף את ‎7y ל- ‎-10y.

$$-3y=-4+15$$

הוסף את ‎-4 ל- ‎15.

$$-3y=11$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$y=-\frac{11}{3}$$

השתמש ב- ‎-\frac{11}{3} במקום y ב- ‎-x+2y=-3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{11}{3}.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

הוסף ‎\frac{22}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$-x=\frac{13}{3}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-1.

$$x=-\frac{13}{3}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$