פתור את {l}{5x-6y=4}{3x+7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-6y=4$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=6y+4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎6y+4.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{6y+4}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+7y=8.

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{6y+4}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

הוסף את ‎\frac{18y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

החסר ‎\frac{12}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{53}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{28}{53}$$

השתמש ב- ‎\frac{28}{53} במקום y ב- ‎x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

הכפל את ‎\frac{6}{5} ב- ‎\frac{28}{53} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

הוסף את ‎\frac{4}{5} ל- ‎\frac{168}{265} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{76}{53}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

פשט.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

החסר את ‎15x+35y=40 מ- ‎15x-18y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y-35y=12-40$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎-35y.

$$-53y=12-40$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-40.

$$-53y=-28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-53.

$$y=\frac{28}{53}$$

השתמש ב- ‎\frac{28}{53} במקום y ב- ‎3x+7y=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{28}{53}.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

החסר ‎\frac{196}{53} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{228}{53}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{76}{53}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$