פתור את {l}{5x-6y=10}{2x+7y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-6y=10$$

הוסף ‎6y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=6y+10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎6y+10.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

השתמש ב- ‎\frac{6y}{5}+2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{6y}{5}+2.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

הוסף את ‎\frac{12y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{47}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{5}{47}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{47} במקום y ב- ‎x=\frac{6}{5}y+2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

הכפל את ‎\frac{6}{5} ב- ‎-\frac{5}{47} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

הוסף את ‎2 ל- ‎-\frac{6}{47}.

$$x=\frac{88}{47}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

פשט.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

החסר את ‎10x+35y=15 מ- ‎10x-12y=20 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-12y-35y=20-15$$

הוסף את ‎-12y ל- ‎-35y.

$$-47y=20-15$$

הוסף את ‎20 ל- ‎-15.

$$-47y=5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-47.

$$y=-\frac{5}{47}$$

השתמש ב- ‎-\frac{5}{47} במקום y ב- ‎2x+7y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{5}{47}.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

הוסף ‎\frac{35}{47} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{176}{47}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{88}{47}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$