פתור את {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-4y=19$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=4y+19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{4y+19}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+2y=7.

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

הוסף את ‎\frac{4y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

החסר ‎\frac{19}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{14}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{8}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{7} במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

הכפל את ‎\frac{4}{5} ב- ‎\frac{8}{7} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

הוסף את ‎\frac{19}{5} ל- ‎\frac{32}{35} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{33}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

פשט.

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

החסר את ‎5x+10y=35 מ- ‎5x-4y=19 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-4y-10y=19-35$$

הוסף את ‎-4y ל- ‎-10y.

$$-14y=19-35$$

הוסף את ‎19 ל- ‎-35.

$$-14y=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-14.

$$y=\frac{8}{7}$$

השתמש ב- ‎\frac{8}{7} במקום y ב- ‎x+2y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{8}{7}.

$$x+\frac{16}{7}=7$$

החסר ‎\frac{16}{7} משני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{33}{7}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$