פתור את {l}{5x-3y-4=34}{5y-3x-18=34}

פתור עבור x, y

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

גרף

בוחן

בעיות דומות מחיפוש באינטרנט

https://math.stackexchange.com/questions/1336252/using-sequent-calculus-to-prove-exists-x-1-x-2-b-x-1-x-2-rightarrow/1337594

https://math.stackexchange.com/questions/811493/find-the-line-between-two-planes-not-using-vector-product

https://math.stackexchange.com/questions/819805/the-relationship-between-the-intercepts-and-the-remainder-in-the-remainder-theor

שתף

הועתק ללוח

5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

5x-3y-4=34

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

5x-3y=38

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

5x=3y+38

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

x=\frac{1}{5}\left(3y+38\right)

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3y+38.

-3\left(\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34

השתמש ב- ‎\frac{3y+38}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+5y-18=34.

-\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{3y+38}{5}.

\frac{16}{5}y-\frac{114}{5}-18=34

הוסף את ‎-\frac{9y}{5} ל- ‎5y.

\frac{16}{5}y-\frac{204}{5}=34

הוסף את ‎-\frac{114}{5} ל- ‎-18.

\frac{16}{5}y=\frac{374}{5}

הוסף ‎\frac{204}{5} לשני אגפי המשוואה.

y=\frac{187}{8}

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{16}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

x=\frac{3}{5}\times \frac{187}{8}+\frac{38}{5}

השתמש ב- ‎\frac{187}{8} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

x=\frac{561}{40}+\frac{38}{5}

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎\frac{187}{8} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

x=\frac{173}{8}

הוסף את ‎\frac{38}{5} ל- ‎\frac{561}{40} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}

המערכת נפתרה כעת.

5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right).

\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}&\frac{5}{5\times 5-\left(-3\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{3}{16}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)

בצע את הפעולות האריתמטיות.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{16}\times 38+\frac{3}{16}\times 52\\\frac{3}{16}\times 38+\frac{5}{16}\times 52\end{matrix}\right)

הכפל את המטריצות.

\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{173}{8}\\\frac{187}{8}\end{matrix}\right)

בצע את הפעולות האריתמטיות.

x=\frac{173}{8},y=\frac{187}{8}

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

5x-3y-4=34,-3x+5y-18=34

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

-3\times 5x-3\left(-3\right)y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

-15x+9y+12=-102,-15x+25y-90=170

פשט.

-15x+15x+9y-25y+12+90=-102-170