פתור את {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-3y=2$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=3y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{3y+2}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

הוסף את ‎\frac{18y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

החסר ‎\frac{12}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{28}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{37}{28}$$

השתמש ב- ‎-\frac{37}{28} במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎-\frac{37}{28} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎-\frac{111}{140} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{11}{28}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

פשט.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

החסר את ‎30x+10y=-25 מ- ‎30x-18y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

הוסף את ‎30x ל- ‎-30x. האיברים ‎30x ו- ‎-30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y-10y=12+25$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎-10y.

$$-28y=12+25$$

הוסף את ‎12 ל- ‎25.

$$-28y=37$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-28.

$$y=-\frac{37}{28}$$

השתמש ב- ‎-\frac{37}{28} במקום y ב- ‎6x+2y=-5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

הוסף ‎\frac{37}{14} לשני אגפי המשוואה.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=-\frac{11}{28}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$