פתור את {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1200$$

$$y=1400$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-3y=1800$$

הוסף ‎3y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=3y+1800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

השתמש ב- ‎\frac{3y}{5}+360 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

הוסף את ‎\frac{18y}{5} ל- ‎-4y.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

החסר ‎2160 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=1400$$

השתמש ב- ‎1400 במקום y ב- ‎x=\frac{3}{5}y+360. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

הכפל את ‎\frac{3}{5} ב- ‎1400.

$$x=840+360$$

הוסף את ‎360 ל- ‎840.

$$x=1200$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1200,y=1400$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1200,y=1400$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

פשט.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

החסר את ‎30x-20y=8000 מ- ‎30x-18y=10800 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

הוסף את ‎30x ל- ‎-30x. האיברים ‎30x ו- ‎-30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-18y+20y=10800-8000$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎20y.

$$2y=10800-8000$$

הוסף את ‎10800 ל- ‎-8000.

$$2y=2800$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=1400$$

השתמש ב- ‎1400 במקום y ב- ‎6x-4y=1600. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-4\times 1400=1600$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎1400.

$$6x-5600=1600$$

הוסף ‎5600 לשני אגפי המשוואה.

$$6x=7200$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=1200$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1200,y=1400$$