פתור את {l}{5x-2y=5}{10x-3y=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 5 } \\ { 10 x - 3 y = 35 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=11$$

$$y=25$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=5$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎2y+5.

$$x=\frac{2}{5}y+1$$

השתמש ב- ‎\frac{2y}{5}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎10x-3y=35.

$$10\left(\frac{2}{5}y+1\right)-3y=35$$

הכפל את ‎10 ב- ‎\frac{2y}{5}+1.

$$4y+10-3y=35$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-3y.

$$y+10=35$$

החסר ‎10 משני אגפי המשוואה.

$$y=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times 25+1$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎25.

$$x=10+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎10.

$$x=11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=11,y=25$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\10&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&-\frac{-2}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\\-\frac{10}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-2\times 10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}&\frac{2}{5}\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\35\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5}\times 5+\frac{2}{5}\times 35\\-2\times 5+35\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\25\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=11,y=25$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=5,10x-3y=35$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎10x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎10 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$10\times 5x+10\left(-2\right)y=10\times 5,5\times 10x+5\left(-3\right)y=5\times 35$$

פשט.

$$50x-20y=50,50x-15y=175$$

החסר את ‎50x-15y=175 מ- ‎50x-20y=50 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$50x-50x-20y+15y=50-175$$

הוסף את ‎50x ל- ‎-50x. האיברים ‎50x ו- ‎-50x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-20y+15y=50-175$$

הוסף את ‎-20y ל- ‎15y.

$$-5y=50-175$$

הוסף את ‎50 ל- ‎-175.

$$-5y=-125$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-5.

$$y=25$$

השתמש ב- ‎25 במקום y ב- ‎10x-3y=35. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$10x-3\times 25=35$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎25.

$$10x-75=35$$

הוסף ‎75 לשני אגפי המשוואה.

$$10x=110$$

חלק את שני האגפים ב- ‎10.

$$x=11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=11,y=25$$