פתור את {l}{5x=7z}{8x=9z}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 7 z } \\ { 8 x = 9 z } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, z

$$x=0$$

$$z=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7z משני האגפים.

$$5x-7z=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9z משני האגפים.

$$8x-9z=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-7z=0$$

הוסף ‎7z לשני אגפי המשוואה.

$$5x=7z$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\times 7z$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎7z.

$$x=\frac{7}{5}z$$

השתמש ב- ‎\frac{7z}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x-9z=0.

$$8\times \frac{7}{5}z-9z=0$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{7z}{5}.

$$\frac{56}{5}z-9z=0$$

הוסף את ‎\frac{56z}{5} ל- ‎-9z.

$$\frac{11}{5}z=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$z=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום z ב- ‎x=\frac{7}{5}z. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,z=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7z משני האגפים.

$$5x-7z=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9z משני האגפים.

$$8x-9z=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\8&-9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&-\frac{-7}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\\-\frac{8}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}&\frac{5}{5\left(-9\right)-\left(-7\times 8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{9}{11}&\frac{7}{11}\\-\frac{8}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- z.

$$x=0,z=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎7z משני האגפים.

$$5x-7z=0$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎9z משני האגפים.

$$8x-9z=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-7z=0,8x-9z=0$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$8\times 5x+8\left(-7\right)z=0,5\times 8x+5\left(-9\right)z=0$$

פשט.

$$40x-56z=0,40x-45z=0$$

החסר את ‎40x-45z=0 מ- ‎40x-56z=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x-56z+45z=0$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-56z+45z=0$$

הוסף את ‎-56z ל- ‎45z.

$$-11z=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$z=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום z ב- ‎8x-9z=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=0,z=0$$