פתור את {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$5x-2y=16$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$7x+2y=32$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-2y=16$$

הוסף ‎2y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=2y+16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{16+2y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

הוסף את ‎\frac{14y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

החסר ‎\frac{112}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{24}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

הוסף את ‎\frac{16}{5} ל- ‎\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$5x-2y=16$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$7x+2y=32$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$5x-2y=16$$

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎2y משני הצדדים.

$$7x+2y=32$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

פשט.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

החסר את ‎35x+10y=160 מ- ‎35x-14y=112 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

הוסף את ‎35x ל- ‎-35x. האיברים ‎35x ו- ‎-35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-14y-10y=112-160$$

הוסף את ‎-14y ל- ‎-10y.

$$-24y=112-160$$

הוסף את ‎112 ל- ‎-160.

$$-24y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎7x+2y=32. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x+2\times 2=32$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$7x+4=32$$

החסר ‎4 משני אגפי המשוואה.

$$7x=28$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=2$$