פתור את {l}{5x=2(y+1)}{x+10=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 ( y + 1 ) } \\ { x + 10 = 2 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=3$$

$$y = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y+1.

$$5x=2y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎2+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{2+2y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x-2y=-10.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}-2y=-10$$

הוסף את ‎\frac{2y}{5} ל- ‎-2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{2}{5}=-10$$

החסר ‎\frac{2}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{52}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{13}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{13}{2} במקום y ב- ‎x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{13}{2}+\frac{2}{5}$$

הכפל את ‎\frac{2}{5} ב- ‎\frac{13}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{13+2}{5}$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎\frac{13}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y+1.

$$5x=2y+2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$5x-2y=2$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x+10-2y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-2y=-10$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-10\right)\\\frac{1}{8}\times 2-\frac{5}{8}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 2 ב- y+1.

$$5x=2y+2$$

החסר ‎2y משני האגפים.

$$5x-2y=2$$

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2y משני האגפים.

$$x+10-2y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$x-2y=-10$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

החסר את ‎x-2y=-10 מ- ‎5x-2y=2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-x-2y+2y=2+10$$

הוסף את ‎-2y ל- ‎2y. האיברים ‎-2y ו- ‎2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-x=2+10$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-x.

$$4x=2+10$$

הוסף את ‎2 ל- ‎10.

$$4x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=3$$

השתמש ב- ‎3 במקום x ב- ‎x-2y=-10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3-2y=-10$$

החסר ‎3 משני אגפי המשוואה.

$$-2y=-13$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$