פתור את {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=9.95$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+9.95$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+9.95.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

השתמש ב- ‎-\frac{y}{5}+\frac{199}{100} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x+6y=18.6.

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{y}{5}+\frac{199}{100}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

הוסף את ‎-\frac{6y}{5} ל- ‎6y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

החסר ‎\frac{597}{50} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{24}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{111}{80}$$

השתמש ב- ‎\frac{111}{80} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎\frac{111}{80} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

הוסף את ‎\frac{199}{100} ל- ‎-\frac{111}{400} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{137}{80}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

פשט.

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

החסר את ‎30x+30y=93 מ- ‎30x+6y=59.7 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

הוסף את ‎30x ל- ‎-30x. האיברים ‎30x ו- ‎-30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-30y=59.7-93$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-30y.

$$-24y=59.7-93$$

הוסף את ‎59.7 ל- ‎-93.

$$-24y=-33.3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-24.

$$y=\frac{111}{80}$$

השתמש ב- ‎\frac{111}{80} במקום y ב- ‎6x+6y=18.6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

הכפל את ‎6 ב- ‎\frac{111}{80}.

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

החסר ‎\frac{333}{40} משני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{411}{40}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{137}{80}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$