פתור את {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=-11$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=19$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+19.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+19}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-y+19}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{5} ל- ‎y.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

החסר ‎\frac{38}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{3}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-11$$

השתמש ב- ‎-11 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎-11.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

הוסף את ‎\frac{19}{5} ל- ‎\frac{11}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-11$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=-11$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

החסר את ‎2x+y=1 מ- ‎5x+y=19 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

הוסף את ‎y ל- ‎-y. האיברים ‎y ו- ‎-y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-2x=19-1$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-2x.

$$3x=19-1$$

הוסף את ‎19 ל- ‎-1.

$$3x=18$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎2x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$2\times 6+y=1$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$12+y=1$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$y=-11$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=-11$$