פתור את {l}{5x+y=17}{3x+2y=20}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 17 } \\ { 3 x + 2 y = 20 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=17,3x+2y=20$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=17$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y+17.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y+17}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+2y=20.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}\right)+2y=20$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-y+17}{5}.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{51}{5}+2y=20$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{5} ל- ‎2y.

$$\frac{7}{5}y+\frac{51}{5}=20$$

החסר ‎\frac{51}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{7}{5}y=\frac{49}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{7}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y+\frac{17}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\times 7+\frac{17}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎7.

$$x=\frac{-7+17}{5}$$

הוסף את ‎\frac{17}{5} ל- ‎-\frac{7}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=17,3x+2y=20$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-3}&-\frac{1}{5\times 2-3}\\-\frac{3}{5\times 2-3}&\frac{5}{5\times 2-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\20\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 17-\frac{1}{7}\times 20\\-\frac{3}{7}\times 17+\frac{5}{7}\times 20\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=2,y=7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=17,3x+2y=20$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3y=3\times 17,5\times 3x+5\times 2y=5\times 20$$

פשט.

$$15x+3y=51,15x+10y=100$$

החסר את ‎15x+10y=100 מ- ‎15x+3y=51 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+3y-10y=51-100$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-10y=51-100$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-10y.

$$-7y=51-100$$

הוסף את ‎51 ל- ‎-100.

$$-7y=-49$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-7.

$$y=7$$

השתמש ב- ‎7 במקום y ב- ‎3x+2y=20. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+2\times 7=20$$

הכפל את ‎2 ב- ‎7.

$$3x+14=20$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$3x=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=2,y=7$$