פתור את {l}{5x+y=-1}{2x+5y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = - 1 } \\ { 2 x + 5 y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-\frac{12}{23}\approx -0.52173913$$

$$y = \frac{37}{23} = 1\frac{14}{23} \approx 1.608695652$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+y=-1$$

החסר ‎y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-y-1$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y-1\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-y-1.

$$x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-y-1}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+5y=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}\right)+5y=7$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-y-1}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{2}{5}+5y=7$$

הוסף את ‎-\frac{2y}{5} ל- ‎5y.

$$\frac{23}{5}y-\frac{2}{5}=7$$

הוסף ‎\frac{2}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{23}{5}y=\frac{37}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{23}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{37}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{37}{23} במקום y ב- ‎x=-\frac{1}{5}y-\frac{1}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{37}{23}-\frac{1}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎\frac{37}{23} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{37}{115}-\frac{1}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{1}{5} ל- ‎-\frac{37}{115} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{12}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2}&-\frac{1}{5\times 5-2}\\-\frac{2}{5\times 5-2}&\frac{5}{5\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}&-\frac{1}{23}\\-\frac{2}{23}&\frac{5}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{23}\left(-1\right)-\frac{1}{23}\times 7\\-\frac{2}{23}\left(-1\right)+\frac{5}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{12}{23}\\\frac{37}{23}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+y=-1,2x+5y=7$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2y=2\left(-1\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 7$$

פשט.

$$10x+2y=-2,10x+25y=35$$

החסר את ‎10x+25y=35 מ- ‎10x+2y=-2 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+2y-25y=-2-35$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$2y-25y=-2-35$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-25y.

$$-23y=-2-35$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-35.

$$-23y=-37$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-23.

$$y=\frac{37}{23}$$

השתמש ב- ‎\frac{37}{23} במקום y ב- ‎2x+5y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+5\times \frac{37}{23}=7$$

הכפל את ‎5 ב- ‎\frac{37}{23}.

$$2x+\frac{185}{23}=7$$

החסר ‎\frac{185}{23} משני אגפי המשוואה.

$$2x=-\frac{24}{23}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=-\frac{12}{23}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{12}{23},y=\frac{37}{23}$$