פתור את {l}{5x+7y=9}{8x+6y=29}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 9 } \\ { 8 x + 6 y = 29 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{149}{26} = 5\frac{19}{26} \approx 5.730769231$$

$$y = -\frac{73}{26} = -2\frac{21}{26} \approx -2.807692308$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+7y=9,8x+6y=29$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+7y=9$$

החסר ‎7y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-7y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-7y+9.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-7y+9}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎8x+6y=29.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{9}{5}\right)+6y=29$$

הכפל את ‎8 ב- ‎\frac{-7y+9}{5}.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{72}{5}+6y=29$$

הוסף את ‎-\frac{56y}{5} ל- ‎6y.

$$-\frac{26}{5}y+\frac{72}{5}=29$$

החסר ‎\frac{72}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{26}{5}y=\frac{73}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{26}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{73}{26}$$

השתמש ב- ‎-\frac{73}{26} במקום y ב- ‎x=-\frac{7}{5}y+\frac{9}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{7}{5}\left(-\frac{73}{26}\right)+\frac{9}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{7}{5} ב- ‎-\frac{73}{26} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{511}{130}+\frac{9}{5}$$

הוסף את ‎\frac{9}{5} ל- ‎\frac{511}{130} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{149}{26}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{149}{26},y=-\frac{73}{26}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+7y=9,8x+6y=29$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-7\times 8}&-\frac{7}{5\times 6-7\times 8}\\-\frac{8}{5\times 6-7\times 8}&\frac{5}{5\times 6-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}&\frac{7}{26}\\\frac{4}{13}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\29\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{13}\times 9+\frac{7}{26}\times 29\\\frac{4}{13}\times 9-\frac{5}{26}\times 29\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{26}\\-\frac{73}{26}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{149}{26},y=-\frac{73}{26}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+7y=9,8x+6y=29$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎8x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎8 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 9,5\times 8x+5\times 6y=5\times 29$$

פשט.

$$40x+56y=72,40x+30y=145$$

החסר את ‎40x+30y=145 מ- ‎40x+56y=72 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$40x-40x+56y-30y=72-145$$

הוסף את ‎40x ל- ‎-40x. האיברים ‎40x ו- ‎-40x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$56y-30y=72-145$$

הוסף את ‎56y ל- ‎-30y.

$$26y=72-145$$

הוסף את ‎72 ל- ‎-145.

$$26y=-73$$

חלק את שני האגפים ב- ‎26.

$$y=-\frac{73}{26}$$

השתמש ב- ‎-\frac{73}{26} במקום y ב- ‎8x+6y=29. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$8x+6\left(-\frac{73}{26}\right)=29$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{73}{26}.

$$8x-\frac{219}{13}=29$$

הוסף ‎\frac{219}{13} לשני אגפי המשוואה.

$$8x=\frac{596}{13}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎8.

$$x=\frac{149}{26}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{149}{26},y=-\frac{73}{26}$$