פתור את {l}{5x+6y=-3}{3x+7y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = - 3 } \\ { 3 x + 7 y = 5 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-3$$

$$y=2$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+6y=-3$$

החסר ‎6y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-6y-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y-3\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-6y-3.

$$x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-6y-3}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+7y=5.

$$3\left(-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)+7y=5$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{-6y-3}{5}.

$$-\frac{18}{5}y-\frac{9}{5}+7y=5$$

הוסף את ‎-\frac{18y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{17}{5}y-\frac{9}{5}=5$$

הוסף ‎\frac{9}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{17}{5}y=\frac{34}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{17}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎x=-\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{6}{5} ב- ‎2.

$$x=\frac{-12-3}{5}$$

הוסף את ‎-\frac{3}{5} ל- ‎-\frac{12}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-6\times 3}&-\frac{6}{5\times 7-6\times 3}\\-\frac{3}{5\times 7-6\times 3}&\frac{5}{5\times 7-6\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}&-\frac{6}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{17}\left(-3\right)-\frac{6}{17}\times 5\\-\frac{3}{17}\left(-3\right)+\frac{5}{17}\times 5\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-3,y=2$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+6y=-3,3x+7y=5$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\times 6y=3\left(-3\right),5\times 3x+5\times 7y=5\times 5$$

פשט.

$$15x+18y=-9,15x+35y=25$$

החסר את ‎15x+35y=25 מ- ‎15x+18y=-9 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+18y-35y=-9-25$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y-35y=-9-25$$

הוסף את ‎18y ל- ‎-35y.

$$-17y=-9-25$$

הוסף את ‎-9 ל- ‎-25.

$$-17y=-34$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-17.

$$y=2$$

השתמש ב- ‎2 במקום y ב- ‎3x+7y=5. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+7\times 2=5$$

הכפל את ‎7 ב- ‎2.

$$3x+14=5$$

החסר ‎14 משני אגפי המשוואה.

$$3x=-9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-3$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-3,y=2$$