פתור את {l}{5x+3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=11$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y-4=34$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$5x+3y=38$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+38$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+38\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+38.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+38}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-3x+5y-18=34.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{-3y+38}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

הוסף את ‎\frac{9y}{5} ל- ‎5y.

$$\frac{34}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

הוסף את ‎-\frac{114}{5} ל- ‎-18.

$$\frac{34}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

הוסף ‎\frac{204}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{34}{5}y=\frac{374}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{34}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times 11+\frac{38}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎11.

$$x=\frac{-33+38}{5}$$

הוסף את ‎\frac{38}{5} ל- ‎-\frac{33}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=11$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 5-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&-\frac{3}{34}\\\frac{3}{34}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 38-\frac{3}{34}\times 52\\\frac{3}{34}\times 38+\frac{5}{34}\times 52\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=11$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-3\times 5x-3\times 3y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

פשט.

$$-15x-9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

החסר את ‎-15x+25y-90=170 מ- ‎-15x-9y+12=-102 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-15x+15x-9y-25y+12+90=-102-170$$

הוסף את ‎-15x ל- ‎15x. האיברים ‎-15x ו- ‎15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-9y-25y+12+90=-102-170$$

הוסף את ‎-9y ל- ‎-25y.

$$-34y+12+90=-102-170$$

הוסף את ‎12 ל- ‎90.

$$-34y+102=-102-170$$

הוסף את ‎-102 ל- ‎-170.

$$-34y+102=-272$$

החסר ‎102 משני אגפי המשוואה.

$$-34y=-374$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-34.

$$y=11$$

השתמש ב- ‎11 במקום y ב- ‎-3x+5y-18=34. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-3x+5\times 11-18=34$$

הכפל את ‎5 ב- ‎11.

$$-3x+55-18=34$$

הוסף את ‎55 ל- ‎-18.

$$-3x+37=34$$

החסר ‎37 משני אגפי המשוואה.

$$-3x=-3$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-3.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=11$$