פתור את {l}{5x+3y=9}{4x=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 9 } \\ { 4 x = 3 y } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=0$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=9,4x-3y=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=9$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+9$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+9\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+9.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+9}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎4x-3y=0.

$$4\left(-\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}\right)-3y=0$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-3y+9}{5}.

$$-\frac{12}{5}y+\frac{36}{5}-3y=0$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{5} ל- ‎-3y.

$$-\frac{27}{5}y+\frac{36}{5}=0$$

החסר ‎\frac{36}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{27}{5}y=-\frac{36}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{27}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+\frac{9}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{4}{3}+\frac{9}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎\frac{4}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

הוסף את ‎\frac{9}{5} ל- ‎-\frac{4}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=0$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=9,4x-3y=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\4&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\times 4}&-\frac{3}{5\left(-3\right)-3\times 4}\\-\frac{4}{5\left(-3\right)-3\times 4}&\frac{5}{5\left(-3\right)-3\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{1}{9}\\\frac{4}{27}&-\frac{5}{27}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 9\\\frac{4}{27}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{4}{3}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=\frac{4}{3}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎3y משני האגפים.

$$4x-3y=0$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=9,4x-3y=0$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎4x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$4\times 5x+4\times 3y=4\times 9,5\times 4x+5\left(-3\right)y=0$$

פשט.

$$20x+12y=36,20x-15y=0$$

החסר את ‎20x-15y=0 מ- ‎20x+12y=36 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20x-20x+12y+15y=36$$

הוסף את ‎20x ל- ‎-20x. האיברים ‎20x ו- ‎-20x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+15y=36$$

הוסף את ‎12y ל- ‎15y.

$$27y=36$$

חלק את שני האגפים ב- ‎27.

$$y=\frac{4}{3}$$

השתמש ב- ‎\frac{4}{3} במקום y ב- ‎4x-3y=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$4x-3\times \frac{4}{3}=0$$

הכפל את ‎-3 ב- ‎\frac{4}{3}.

$$4x-4=0$$

הוסף ‎4 לשני אגפי המשוואה.

$$4x=4$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=\frac{4}{3}$$