פתור את {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=7$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+7}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

הוסף את ‎\frac{6y}{5} ל- ‎y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

הוסף ‎\frac{14}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{19}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎\frac{19}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

הוסף את ‎\frac{7}{5} ל- ‎-\frac{57}{55} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החסר ‎2x משני האגפים.

$$y-2x=1$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

פשט.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

החסר את ‎-10x+5y=5 מ- ‎-10x-6y=-14 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

הוסף את ‎-10x ל- ‎10x. האיברים ‎-10x ו- ‎10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$-6y-5y=-14-5$$

הוסף את ‎-6y ל- ‎-5y.

$$-11y=-14-5$$

הוסף את ‎-14 ל- ‎-5.

$$-11y=-19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=\frac{19}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{19}{11} במקום y ב- ‎-2x+y=1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

החסר ‎\frac{19}{11} משני אגפי המשוואה.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$x=\frac{4}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$