פתור את {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=6$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+6}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

הוסף את ‎-\frac{6y}{5} ל- ‎7y.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

החסר ‎\frac{12}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{29}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{33}{29}$$

השתמש ב- ‎\frac{33}{29} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎\frac{33}{29} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

הוסף את ‎\frac{6}{5} ל- ‎-\frac{99}{145} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{15}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

פשט.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

החסר את ‎10x+35y=45 מ- ‎10x+6y=12 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$6y-35y=12-45$$

הוסף את ‎6y ל- ‎-35y.

$$-29y=12-45$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-45.

$$-29y=-33$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-29.

$$y=\frac{33}{29}$$

השתמש ב- ‎\frac{33}{29} במקום y ב- ‎2x+7y=9. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

הכפל את ‎7 ב- ‎\frac{33}{29}.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

החסר ‎\frac{231}{29} משני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{30}{29}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{15}{29}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$