פתור את {l}{5x+3y=5}{xquad=1-y/7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 5 } \\ { x \quad = 1 - \frac { y } { 7 } } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=1$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{y}{7} משני הצדדים.

$$x+\frac{y}{7}=1$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎7.

$$7x+y=7$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=5$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+5.

$$x=-\frac{3}{5}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{5}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎7x+y=7.

$$7\left(-\frac{3}{5}y+1\right)+y=7$$

הכפל את ‎7 ב- ‎-\frac{3y}{5}+1.

$$-\frac{21}{5}y+7+y=7$$

הוסף את ‎-\frac{21y}{5} ל- ‎y.

$$-\frac{16}{5}y+7=7$$

החסר ‎7 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{16}{5}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{16}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{y}{7} משני הצדדים.

$$x+\frac{y}{7}=1$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎7.

$$7x+y=7$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\7&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\times 7}&-\frac{3}{5-3\times 7}\\-\frac{7}{5-3\times 7}&\frac{5}{5-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}&\frac{3}{16}\\\frac{7}{16}&-\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{16}\times 5+\frac{3}{16}\times 7\\\frac{7}{16}\times 5-\frac{5}{16}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=1,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. הוסף ‎\frac{y}{7} משני הצדדים.

$$x+\frac{y}{7}=1$$

הכפל את שני אגפי המשוואה ב- ‎7.

$$7x+y=7$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=5,7x+y=7$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎7x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎7 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$7\times 5x+7\times 3y=7\times 5,5\times 7x+5y=5\times 7$$

פשט.

$$35x+21y=35,35x+5y=35$$

החסר את ‎35x+5y=35 מ- ‎35x+21y=35 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$35x-35x+21y-5y=35-35$$

הוסף את ‎35x ל- ‎-35x. האיברים ‎35x ו- ‎-35x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$21y-5y=35-35$$

הוסף את ‎21y ל- ‎-5y.

$$16y=35-35$$

הוסף את ‎35 ל- ‎-35.

$$16y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎16.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎7x+y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$7x=7$$

חלק את שני האגפים ב- ‎7.

$$x=1$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=1,y=0$$