פתור את {l}{5x+3y=460.000}{3x+4y=913.000}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 460.000 } \\ { 3 x + 4 y = 913.000 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{899}{11} = -81\frac{8}{11} \approx -81.727272727$$

$$y = \frac{3185}{11} = 289\frac{6}{11} \approx 289.545454545$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=460$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+460$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+460\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+460.

$$x=-\frac{3}{5}y+92$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{5}+92 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+4y=913.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+92\right)+4y=913$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{5}+92.

$$-\frac{9}{5}y+276+4y=913$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{5} ל- ‎4y.

$$\frac{11}{5}y+276=913$$

החסר ‎276 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{5}y=637$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{3185}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{3185}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+92. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{3185}{11}+92$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎\frac{3185}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{1911}{11}+92$$

הוסף את ‎92 ל- ‎-\frac{1911}{11}.

$$x=-\frac{899}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 4-3\times 3}&\frac{5}{5\times 4-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}&-\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}460\\913\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\times 460-\frac{3}{11}\times 913\\-\frac{3}{11}\times 460+\frac{5}{11}\times 913\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{899}{11}\\\frac{3185}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=460,3x+4y=913$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5x+3\times 3y=3\times 460,5\times 3x+5\times 4y=5\times 913$$

פשט.

$$15x+9y=1380,15x+20y=4565$$

החסר את ‎15x+20y=4565 מ- ‎15x+9y=1380 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15x-15x+9y-20y=1380-4565$$

הוסף את ‎15x ל- ‎-15x. האיברים ‎15x ו- ‎-15x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y-20y=1380-4565$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-20y.

$$-11y=1380-4565$$

הוסף את ‎1380 ל- ‎-4565.

$$-11y=-3185$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=\frac{3185}{11}$$

השתמש ב- ‎\frac{3185}{11} במקום y ב- ‎3x+4y=913. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+4\times \frac{3185}{11}=913$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{3185}{11}.

$$3x+\frac{12740}{11}=913$$

החסר ‎\frac{12740}{11} משני אגפי המשוואה.

$$3x=-\frac{2697}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=-\frac{899}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{899}{11},y=\frac{3185}{11}$$