פתור עבור x, y
x=6
y=0
גרף
שתף
הועתק ללוח
5x+3y=30,3x+3y=18
כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.
5x+3y=30
בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.
5x=-3y+30
החסר 3y משני אגפי המשוואה.
x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)
חלק את שני האגפים ב- 5.
x=-\frac{3}{5}y+6
הכפל את \frac{1}{5} ב- -3y+30.
3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18
השתמש ב- -\frac{3y}{5}+6 במקום x במשוואה השניה, 3x+3y=18.
-\frac{9}{5}y+18+3y=18
הכפל את 3 ב- -\frac{3y}{5}+6.
\frac{6}{5}y+18=18
הוסף את -\frac{9y}{5} ל- 3y.
\frac{6}{5}y=0
החסר 18 משני אגפי המשוואה.
y=0
חלק את שני אגפי המשוואה ב- \frac{6}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.
x=6
השתמש ב- 0 במקום y ב- x=-\frac{3}{5}y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.
x=6,y=0
המערכת נפתרה כעת.
5x+3y=30,3x+3y=18
העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.
\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)
כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.
inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)
הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right).
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)
המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)
עבור מטריצת 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)
הכפל את המטריצות.
\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)
בצע את הפעולות האריתמטיות.
x=6,y=0
חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.
5x+3y=30,3x+3y=18
כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.
5x-3x+3y-3y=30-18
החסר את 3x+3y=18 מ- 5x+3y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.
5x-3x=30-18
הוסף את 3y ל- -3y. האיברים 3y ו- -3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.
2x=30-18
הוסף את 5x ל- -3x.
2x=12
הוסף את 30 ל- -18.
x=6
חלק את שני האגפים ב- 2.
3\times 6+3y=18
השתמש ב- 6 במקום x ב- 3x+3y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.
18+3y=18
הכפל את 3 ב- 6.
3y=0
החסר 18 משני אגפי המשוואה.
y=0
חלק את שני האגפים ב- 3.
x=6,y=0
המערכת נפתרה כעת.
דוגמאות
משוואה ממעלה שנייה
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
טריגונומטריה
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
משוואה לינארית
y = 3x + 4
אריתמטיקה
699 * 533
מטריצה
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
משוואה בו-זמנית
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
גזירה
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
אינטגרציה
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
גבולות
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}