פתור את {l}{5x+3y=30}{3x+3y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 30 } \\ { 3 x + 3 y = 18 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=6$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y=30$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+30\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+30.

$$x=-\frac{3}{5}y+6$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{5}+6 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+3y=18.

$$3\left(-\frac{3}{5}y+6\right)+3y=18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{3y}{5}+6.

$$-\frac{9}{5}y+18+3y=18$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{5} ל- ‎3y.

$$\frac{6}{5}y+18=18$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{6}{5}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{6}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+6. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=6$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}\\-\frac{3}{5\times 3-3\times 3}&\frac{5}{5\times 3-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\18\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 30-\frac{1}{2}\times 18\\-\frac{1}{2}\times 30+\frac{5}{6}\times 18\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=6,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y=30,3x+3y=18$$

החסר את ‎3x+3y=18 מ- ‎5x+3y=30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-3x+3y-3y=30-18$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-3y. האיברים ‎3y ו- ‎-3y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-3x=30-18$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-3x.

$$2x=30-18$$

הוסף את ‎30 ל- ‎-18.

$$2x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=6$$

השתמש ב- ‎6 במקום x ב- ‎3x+3y=18. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$3\times 6+3y=18$$

הכפל את ‎3 ב- ‎6.

$$18+3y=18$$

החסר ‎18 משני אגפי המשוואה.

$$3y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$y=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=6,y=0$$