פתור את {l}{5x+2y=6}{9x+2y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 6 } \\ { 9 x + 2 y = 22 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=4$$

$$y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=6$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y+6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+6\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y+6.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+6}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x+2y=22.

$$9\left(-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}\right)+2y=22$$

הכפל את ‎9 ב- ‎\frac{-2y+6}{5}.

$$-\frac{18}{5}y+\frac{54}{5}+2y=22$$

הוסף את ‎-\frac{18y}{5} ל- ‎2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{54}{5}=22$$

החסר ‎\frac{54}{5} משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{8}{5}y=\frac{56}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-7$$

השתמש ב- ‎-7 במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y+\frac{6}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-7\right)+\frac{6}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎-7.

$$x=\frac{14+6}{5}$$

הוסף את ‎\frac{6}{5} ל- ‎\frac{14}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=4$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\9&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2\times 9}&-\frac{2}{5\times 2-2\times 9}\\-\frac{9}{5\times 2-2\times 9}&\frac{5}{5\times 2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{9}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\22\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 6+\frac{1}{4}\times 22\\\frac{9}{8}\times 6-\frac{5}{8}\times 22\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-7\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=4,y=-7$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=6,9x+2y=22$$

החסר את ‎9x+2y=22 מ- ‎5x+2y=6 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-9x+2y-2y=6-22$$

הוסף את ‎2y ל- ‎-2y. האיברים ‎2y ו- ‎-2y מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5x-9x=6-22$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-9x.

$$-4x=6-22$$

הוסף את ‎6 ל- ‎-22.

$$-4x=-16$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-4.

$$x=4$$

השתמש ב- ‎4 במקום x ב- ‎9x+2y=22. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את y ישירות.

$$9\times 4+2y=22$$

הכפל את ‎9 ב- ‎4.

$$36+2y=22$$

החסר ‎36 משני אגפי המשוואה.

$$2y=-14$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$y=-7$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=4,y=-7$$