פתור את {l}{5x+2y=17}{2x+3y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 17 } \\ { 2 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{45}{11} = 4\frac{1}{11} \approx 4.090909091$$

$$y = -\frac{19}{11} = -1\frac{8}{11} \approx -1.727272727$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=17$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y+17$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+17\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y+17.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-2y+17}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎2x+3y=3.

$$2\left(-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}\right)+3y=3$$

הכפל את ‎2 ב- ‎\frac{-2y+17}{5}.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{34}{5}+3y=3$$

הוסף את ‎-\frac{4y}{5} ל- ‎3y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{34}{5}=3$$

החסר ‎\frac{34}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{19}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{11}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{19}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{19}{11} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y+\frac{17}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{19}{11}\right)+\frac{17}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎-\frac{19}{11} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{38}{55}+\frac{17}{5}$$

הוסף את ‎\frac{17}{5} ל- ‎\frac{38}{55} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{45}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 3-2\times 2}&\frac{5}{5\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\3\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{11}\times 17-\frac{2}{11}\times 3\\-\frac{2}{11}\times 17+\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{11}\\-\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=17,2x+3y=3$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎2x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎2 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\times 17,5\times 2x+5\times 3y=5\times 3$$

פשט.

$$10x+4y=34,10x+15y=15$$

החסר את ‎10x+15y=15 מ- ‎10x+4y=34 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$10x-10x+4y-15y=34-15$$

הוסף את ‎10x ל- ‎-10x. האיברים ‎10x ו- ‎-10x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4y-15y=34-15$$

הוסף את ‎4y ל- ‎-15y.

$$-11y=34-15$$

הוסף את ‎34 ל- ‎-15.

$$-11y=19$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-11.

$$y=-\frac{19}{11}$$

השתמש ב- ‎-\frac{19}{11} במקום y ב- ‎2x+3y=3. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$2x+3\left(-\frac{19}{11}\right)=3$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{19}{11}.

$$2x-\frac{57}{11}=3$$

הוסף ‎\frac{57}{11} לשני אגפי המשוואה.

$$2x=\frac{90}{11}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$x=\frac{45}{11}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{45}{11},y=-\frac{19}{11}$$