פתור את {l}{5x+2y=0}{6x-1y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+2y=0$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-2y$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2y.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

השתמש ב- ‎-\frac{2y}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎6x-y=2.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

הכפל את ‎6 ב- ‎-\frac{2y}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

הוסף את ‎-\frac{12y}{5} ל- ‎-y.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{17}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=-\frac{10}{17}$$

השתמש ב- ‎-\frac{10}{17} במקום y ב- ‎x=-\frac{2}{5}y. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

הכפל את ‎-\frac{2}{5} ב- ‎-\frac{10}{17} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=\frac{4}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

פשט.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

החסר את ‎30x-5y=10 מ- ‎30x+12y=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

הוסף את ‎30x ל- ‎-30x. האיברים ‎30x ו- ‎-30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$12y+5y=-10$$

הוסף את ‎12y ל- ‎5y.

$$17y=-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

השתמש ב- ‎-\frac{10}{17} במקום y ב- ‎6x-y=2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

החסר ‎\frac{10}{17} משני אגפי המשוואה.

$$6x=\frac{24}{17}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$x=\frac{4}{17}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$