פתור את {l}{5x+(3y-2)=0}{x+y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + ( 3 y - 2 ) = 0 } \\ { x + y = 10 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-14$$

$$y=24$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+3y-2=0$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$5x+3y=2$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$5x=-3y+2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+2\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-3y+2.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-3y+2}{5} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+y=10.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}+y=10$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{5} ל- ‎y.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}=10$$

החסר ‎\frac{2}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{2}{5}y=\frac{48}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{2}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=24$$

השתמש ב- ‎24 במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{5}\times 24+\frac{2}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{5} ב- ‎24.

$$x=\frac{-72+2}{5}$$

הוסף את ‎\frac{2}{5} ל- ‎-\frac{72}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-14,y=24$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3}&-\frac{3}{5-3}\\-\frac{1}{5-3}&\frac{5}{5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\10\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 2-\frac{3}{2}\times 10\\-\frac{1}{2}\times 2+\frac{5}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\24\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-14,y=24$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+3y-2=0,x+y=10$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=5\times 10$$

פשט.

$$5x+3y-2=0,5x+5y=50$$

החסר את ‎5x+5y=50 מ- ‎5x+3y-2=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+3y-5y-2=-50$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3y-5y-2=-50$$

הוסף את ‎3y ל- ‎-5y.

$$-2y-2=-50$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$-2y=-48$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-2.

$$y=24$$

השתמש ב- ‎24 במקום y ב- ‎x+y=10. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+24=10$$

החסר ‎24 משני אגפי המשוואה.

$$x=-14$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-14,y=24$$