פתור את {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור u, x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור u על-ידי בידוד u בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5u+x=-10$$

החסר ‎x משני אגפי המשוואה.

$$5u=-x-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

השתמש ב- ‎-\frac{x}{5}-2 במקום ‎u במשוואה השניה, ‎3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎-\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

הוסף את ‎-\frac{3x}{5} ל- ‎3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

הוסף ‎6 לשני אגפי המשוואה.

$$\frac{12}{5}x=6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{12}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$x=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x ב- ‎u=-\frac{1}{5}x-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎\frac{5}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

הוסף את ‎-2 ל- ‎-\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה u ו- x.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

כדי להפוך את ‎5u ו- ‎3u לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

פשט.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

החסר את ‎15u+15x=0 מ- ‎15u+3x=-30 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

הוסף את ‎15u ל- ‎-15u. האיברים ‎15u ו- ‎-15u מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$3x-15x=-30$$

הוסף את ‎3x ל- ‎-15x.

$$-12x=-30$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-12.

$$x=\frac{5}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x ב- ‎3u+3x=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את u ישירות.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

החסר ‎\frac{15}{2} משני אגפי המשוואה.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$u=-\frac{5}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$