פתור את {l}{5b+c=8}{4b+4c=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + c = 8 } \\ { 4 b + 4 c = 8 } \end{array} \right.$$

פתור עבור b, c

$$b = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

$$c=\frac{1}{2}=0.5$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור b על-ידי בידוד b בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5b+c=8$$

החסר ‎c משני אגפי המשוואה.

$$5b=-c+8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$b=\frac{1}{5}\left(-c+8\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-c+8.

$$b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{-c+8}{5} במקום ‎b במשוואה השניה, ‎4b+4c=8.

$$4\left(-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}\right)+4c=8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{-c+8}{5}.

$$-\frac{4}{5}c+\frac{32}{5}+4c=8$$

הוסף את ‎-\frac{4c}{5} ל- ‎4c.

$$\frac{16}{5}c+\frac{32}{5}=8$$

החסר ‎\frac{32}{5} משני אגפי המשוואה.

$$\frac{16}{5}c=\frac{8}{5}$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{16}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$c=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום c ב- ‎b=-\frac{1}{5}c+\frac{8}{5}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$b=-\frac{1}{5}\times \frac{1}{2}+\frac{8}{5}$$

הכפל את ‎-\frac{1}{5} ב- ‎\frac{1}{2} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$b=-\frac{1}{10}+\frac{8}{5}$$

הוסף את ‎\frac{8}{5} ל- ‎-\frac{1}{10} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$b=\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\4&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-4}&-\frac{1}{5\times 4-4}\\-\frac{4}{5\times 4-4}&\frac{5}{5\times 4-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{16}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\8\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 8-\frac{1}{16}\times 8\\-\frac{1}{4}\times 8+\frac{5}{16}\times 8\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה b ו- c.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5b+c=8,4b+4c=8$$

כדי להפוך את ‎5b ו- ‎4b לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎4 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$4\times 5b+4c=4\times 8,5\times 4b+5\times 4c=5\times 8$$

פשט.

$$20b+4c=32,20b+20c=40$$

החסר את ‎20b+20c=40 מ- ‎20b+4c=32 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$20b-20b+4c-20c=32-40$$

הוסף את ‎20b ל- ‎-20b. האיברים ‎20b ו- ‎-20b מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$4c-20c=32-40$$

הוסף את ‎4c ל- ‎-20c.

$$-16c=32-40$$

הוסף את ‎32 ל- ‎-40.

$$-16c=-8$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-16.

$$c=\frac{1}{2}$$

השתמש ב- ‎\frac{1}{2} במקום c ב- ‎4b+4c=8. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$4b+4\times \frac{1}{2}=8$$

הכפל את ‎4 ב- ‎\frac{1}{2}.

$$4b+2=8$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$4b=6$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=\frac{3}{2}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=\frac{3}{2},c=\frac{1}{2}$$