פתור את {l}{5b+2c=0}{b+2c=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 b + 2 c = 0 } \\ { b + 2 c = 0 } \end{array} \right.$$

פתור עבור b, c

$$b=0$$

$$c=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5b+2c=0,b+2c=0$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור b על-ידי בידוד b בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5b+2c=0$$

החסר ‎2c משני אגפי המשוואה.

$$5b=-2c$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$b=\frac{1}{5}\left(-2\right)c$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-2c.

$$b=-\frac{2}{5}c$$

השתמש ב- ‎-\frac{2c}{5} במקום ‎b במשוואה השניה, ‎b+2c=0.

$$-\frac{2}{5}c+2c=0$$

הוסף את ‎-\frac{2c}{5} ל- ‎2c.

$$\frac{8}{5}c=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{8}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$c=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום c ב- ‎b=-\frac{2}{5}c. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את b ישירות.

$$b=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=0,c=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5b+2c=0,b+2c=0$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-2}&-\frac{2}{5\times 2-2}\\-\frac{1}{5\times 2-2}&\frac{5}{5\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{8}&\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}b\\c\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה b ו- c.

$$b=0,c=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5b+2c=0,b+2c=0$$

החסר את ‎b+2c=0 מ- ‎5b+2c=0 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5b-b+2c-2c=0$$

הוסף את ‎2c ל- ‎-2c. האיברים ‎2c ו- ‎-2c מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$5b-b=0$$

הוסף את ‎5b ל- ‎-b.

$$4b=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎4.

$$b=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום b ב- ‎b+2c=0. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את c ישירות.

$$2c=0$$

המערכת נפתרה כעת.

$$b=0,c=0$$