פתור את {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x=-2$$

$$y=0$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+2.

$$5x+10=4y$$

החסר ‎4y משני האגפים.

$$5x+10-4y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$5x-4y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y-4.

$$3y-12=6x$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$3y-12-6x=0$$

הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3y-6x=12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x-4y=-10$$

הוסף ‎4y לשני אגפי המשוואה.

$$5x=4y-10$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

השתמש ב- ‎\frac{4y}{5}-2 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎-6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

הכפל את ‎-6 ב- ‎\frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

הוסף את ‎-\frac{24y}{5} ל- ‎3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

החסר ‎12 משני אגפי המשוואה.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{9}{5}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎x=\frac{4}{5}y-2. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+2.

$$5x+10=4y$$

החסר ‎4y משני האגפים.

$$5x+10-4y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$5x-4y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y-4.

$$3y-12=6x$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$3y-12-6x=0$$

הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3y-6x=12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-2,y=0$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה הראשונה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 5 ב- x+2.

$$5x+10=4y$$

החסר ‎4y משני האגפים.

$$5x+10-4y=0$$

החסר ‎10 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$5x-4y=-10$$

שקול את המשוואה השניה. השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 3 ב- y-4.

$$3y-12=6x$$

החסר ‎6x משני האגפים.

$$3y-12-6x=0$$

הוסף ‎12 משני הצדדים. כל מספר ועוד אפס שווה לעצמו.

$$3y-6x=12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎-6x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎-6 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

פשט.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

החסר את ‎-30x+15y=60 מ- ‎-30x+24y=60 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

הוסף את ‎-30x ל- ‎30x. האיברים ‎-30x ו- ‎30x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$24y-15y=60-60$$

הוסף את ‎24y ל- ‎-15y.

$$9y=60-60$$

הוסף את ‎60 ל- ‎-60.

$$9y=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$y=0$$

השתמש ב- ‎0 במקום y ב- ‎-6x+3y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$-6x=12$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-6.

$$x=-2$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-2,y=0$$