פתור את {l}{5^1x+0.3y=5}{x+1/8y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ^ { 1 } x + 0.3 y = 5 } \\ { x + \frac { 1 } { 8 } y = 7 } \end{array} \right.$$

פתור עבור x, y

$$x = -\frac{59}{13} = -4\frac{7}{13} \approx -4.538461538$$

$$y = \frac{1200}{13} = 92\frac{4}{13} \approx 92.307692308$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$5x+0.3y=5$$

החסר ‎\frac{3y}{10} משני אגפי המשוואה.

$$5x=-0.3y+5$$

חלק את שני האגפים ב- ‎5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-0.3y+5\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{5} ב- ‎-\frac{3y}{10}+5.

$$x=-\frac{3}{50}y+1$$

השתמש ב- ‎-\frac{3y}{50}+1 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎x+\frac{1}{8}y=7.

$$-\frac{3}{50}y+1+\frac{1}{8}y=7$$

הוסף את ‎-\frac{3y}{50} ל- ‎\frac{y}{8}.

$$\frac{13}{200}y+1=7$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$\frac{13}{200}y=6$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎\frac{13}{200}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1200}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{1200}{13} במקום y ב- ‎x=-\frac{3}{50}y+1. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-\frac{3}{50}\times \frac{1200}{13}+1$$

הכפל את ‎-\frac{3}{50} ב- ‎\frac{1200}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x=-\frac{72}{13}+1$$

הוסף את ‎1 ל- ‎-\frac{72}{13}.

$$x=-\frac{59}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&0.3\\1&\frac{1}{8}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{8}}{5\times \frac{1}{8}-0.3}&-\frac{0.3}{5\times \frac{1}{8}-0.3}\\-\frac{1}{5\times \frac{1}{8}-0.3}&\frac{5}{5\times \frac{1}{8}-0.3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&-\frac{12}{13}\\-\frac{40}{13}&\frac{200}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 5-\frac{12}{13}\times 7\\-\frac{40}{13}\times 5+\frac{200}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{59}{13}\\\frac{1200}{13}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$5x+0.3y=5,x+\frac{1}{8}y=7$$

כדי להפוך את ‎5x ו- ‎x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎1 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎5.

$$5x+0.3y=5,5x+5\times \frac{1}{8}y=5\times 7$$

פשט.

$$5x+0.3y=5,5x+\frac{5}{8}y=35$$

החסר את ‎5x+\frac{5}{8}y=35 מ- ‎5x+0.3y=5 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$5x-5x+0.3y-\frac{5}{8}y=5-35$$

הוסף את ‎5x ל- ‎-5x. האיברים ‎5x ו- ‎-5x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$0.3y-\frac{5}{8}y=5-35$$

הוסף את ‎\frac{3y}{10} ל- ‎-\frac{5y}{8}.

$$-\frac{13}{40}y=5-35$$

הוסף את ‎5 ל- ‎-35.

$$-\frac{13}{40}y=-30$$

חלק את שני אגפי המשוואה ב- ‎-\frac{13}{40}, פעולה הזהה להכפלת שני האגפים בהופכי של השבר.

$$y=\frac{1200}{13}$$

השתמש ב- ‎\frac{1200}{13} במקום y ב- ‎x+\frac{1}{8}y=7. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x+\frac{1}{8}\times \frac{1200}{13}=7$$

הכפל את ‎\frac{1}{8} ב- ‎\frac{1200}{13} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x+\frac{150}{13}=7$$

החסר ‎\frac{150}{13} משני אגפי המשוואה.

$$x=-\frac{59}{13}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=-\frac{59}{13},y=\frac{1200}{13}$$